การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับร้อยละ

นักเรียนสามารถนำความรู้เกี่ยวกับ การคำนวณค่าเกี่ยวกับร้อยละ
มาช่วยแก้ปัญหาโจทย์เกี่ยวกับร้อยละ ซึ่งจะสรุปหลักการคำนวณทั่วไปดังนี้

1.  สมมุติตัวแปรในสิ่งที่ต้องการ
2.  สร้างสมการ หรือ สร้างสัดส่วน
3.  แก้สมการหรือแก้สัดส่วนหาค่าตัวแปร

 

ความหมายของร้อยละที่ควรทราบ
1. อัตราดอกเบี้ย 12% หมายความว่า   เงินต้น 100 บาท ในเวลา 1 ปี ได้ดอกเบี้ย 12 บาท
2. ขายของได้กำไร 20% หมายความว่า   ทุน 100 บาท ได้กำไร 20 บาท ขายไปราคา 120 บาท
3. ขายของขาดทุน 15% หมายความว่า   ทุน 100 บาท ขาดทุน 15 บาท ขายไปราคา 85 บาท
4. ลดราคาสินค้า 5% หมายความว่า   ติดราคาไว้ 100 บาท ลดให้ 5 บาท ขายไปราคา 95 บาท

 

มีตัวอย่างต่างๆเกี่ยวกับร้อยละให้นักเรียนได้ศึกษาตามหัวข้อ ดังต่อไปนี้
3.1  โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับร้อยละ อย่างง่าย (ตัวอย่างที่ 1 – 3)
3.2  โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ กำไร ขาดทุน ส่วนลด (ตัวอย่างที่ 4 – 6)
3.3  โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับร้อยละ ที่ซับซ้อน (ตัวอย่างที่ 7 – 8)

ตัวอย่างที่ 1
กมลสอบได้สังคมได้ 95% ถ้าคะแนนเต็ม 180 คะแนน
  จงหาว่ากมลสอบได้กี่คะแนน
วิธีทำ
สมมติให้   กมลสอบได้            X    คะแนน
 
จะได้    สัดส่วน
(คูณไขว้)
 
X x 100   =
180 x 95
X     =
X     =
171

ดังนั้น  กมลสอบได้ 171 คะแนน        Ans.


ตัวอย่างที่ 2
ทีมฟุตบอลของโรงเรียนแห่งหนึ่งแข่งขันชนะ 75% ของ
  จำนวนครั้งที่ลงแข่งขัน ถ้าทีมนี้ลงแข่งขัน 24 ครั้ง จะชนะกี่ครั้ง
วิธีทำ
สมมติให้   ทีมที่ชนะ           Y    ครั้ง
 
จะได้    สัดส่วน
(คูณไขว้)
 
Y x 100   =
75 x 24
Y     =
X     =
18

ดังนั้น  ทีมฟุตบอลนี้ชนะการแข่งขัน   18  ครั้ง        Ans.


ตัวอย่างที่ 3
มีเป็ดทั้งหมด 250 ตัว เมื่อเป็ดโตขึ้นปรากฏว่าเหลือเป็ดเพียง
  220 ตัว อยากทราบว่าเป็ดตายไปกี่เปอร์เซ็นต์ของเป็ดทั้งหมด
วิธีทำ
สมมติให้   เป็ดตายไป           K%
 
เป็ดตาย   =   250 – 220   =   30 ตัว
จะได้    สัดส่วน
(คูณไขว้)
 
K x 250   =
30 x 100
K     =
K     =
12

ดังนั้น  เป็ดตายไป 12%        Ans.


ทำแบบฝึกหัดตั้งแต่ข้อ 1 – 4

ตัวอย่างที่ 4
ฉันซื้อโทรทัศน์เครื่องหนึ่งได้ส่วนลด 15% ของราคาที่ปิดไว้
  ซึ่งคิดเป็นเงินส่วนลดได้ 750 บาท จงหาราคาที่ปิดไว้
วิธีทำ
ส่วนลด 15% คือ ปิดราคาขาย 100 บาท ลดราคา 15 บาท
  ขายไป 85 บาท
 
สมมติให้   ราคาที่ปิดไว้           M  บาท
 
 
จะได้    สัดส่วน
(คูณไขว้)
 
M x 15   =
750 x 100
M     =
K     =
5,000

ดังนั้น  ราคาที่ปิดไว้  5,000 บาท        Ans.


ตัวอย่างที่ 5
ชายคนหนึ่งจองบ้านพร้อมที่ดินราคา 1,250,000 บาท
  ่เขาต้องชำระเงินดาวน์ล่างหน้า 25% ของราคาบ้านและที่ดิน
  จงหาว่าเขาต้องจ่ายเงินดาวน์ จำนวนเท่าใด
วิธีทำ
เงินดาวน์ 25% คือ ขาย 100 บาท ชำระเงินดาวน์ 25 บาท
  จะต้องชำระเพิ่ม 75 บาท
 
สมมติให้   จ่ายเงินดาวน์              R    บาท
 
 
จะได้    สัดส่วน
(คูณไขว้)
R x 100   =
25 x 1,250,000
M     =
M     =
312,500

ดังนั้น  เขาต้องจ่ายเงินดาวน์  312,500 บาท        Ans.

 

ตัวอย่างที่ 6
พ่อค้าซื้อสินค้ามาในราคา 1,250 บาท ขายไปในราคา
  1,500 บาท จะได้กำไรกี่เปอร์เซ็นต์
วิธีทำ
ราคาทุน 1,250 บาท           ราคาขาย 1,500 บาท
  ได้กำไร 1,500 – 1,250 = 250 บาท
 
สมมติให้   ได้กำไร              F%
 
 
จะได้    สัดส่วน
(คูณไขว้)
 
F x 1,250   =
250 x 100
F     =
F     =
20

ดังนั้น  พ่อค้าได้กำไร   20%        Ans.


ทำแบบฝึกหัดตั้งแต่ข้อ 5 – 8

ตัวอย่างที่ 7
วิทยุเครื่องหนึ่งบอกขาย 1,350 บาท แต่ลดให้ผู้ซื้อเงินสด
  ่10% อยากทราบว่า ถ้าผู้ซื้อเงินสดนำไปขายต่อในราคา
  1,300 บาท เขาจะได้กำไรหรือขาดทุนประมาณกี่เปอร์เซ็นต์
วิธีทำ
ลด 10% คือ ปิดราคาขาย 100 บาท ลดให้ 10 บาท ขายไป 90 บาท
 
สมมติให้   ส่วนลดของวิทยุ              W    บาท
 
 
จะได้    สัดส่วน
(คูณไขว้)
 
W x 100   =
10 x 1,350
W     =
W     =
135

ดังนั้น  ผู้ซื้อเงินสดได้ส่วนลด 135 บาท

แสดงว่า  ผู้ซื้อเงินสดซื้อวิทยุได้ในราคา 1,350 – 135 = 1,215 บาท
แต่นำไปขายต่อในราคา   1,300  บาท
ดังนั้น  เขาได้กำไร 1,300 – 1,215  =  85 บาท
ผู้ซื้อเงินสด  ซื้อมา 1,215 บาท    ขายได้กำไร   85   บาท
ให้ ผู้ซื้อเงินสด  ซื้อมา 100 บาท    ขายได้กำไร   H   บาท
 
 
จะได้    สัดส่วน
(คูณไขว้)
H x 1,215   =
100 x 85
H     =
H     =
6.9588… หรือ ประมาณ 7

ดังนั้น  ผู้ซื้อเงินสดนำไปขายต่อได้กำไรประมาณ 7%    Ans.


ตัวอย่างที่ 8
ขายสินค้าไปราคา 3,640 บาท ขาดทุน 9%
  ่จะต้องขายในราคาเท่าไร จึงจะได้กำไร 10%
วิธีทำ
ขายขาดทุน 9% คือ ราคาทุน 100 บาท ขายไป 100 – 9 = 91 บาท
  หรือ ขายไป       91 บาท   จากทุนซื้อมา     100 บาท
ให้   ขายไป  3,640 บาท   จากทุนซื้อมา         P บาท
 
 
จะได้    สัดส่วน
(คูณไขว้)
P x 91   =
3,640 x 100
P     =
P     =
4,000

ดังนั้น  ราคาทุนของสินค้านี้ คือ     4,000  บาท

 
ต้องการขายให้ได้กำไร  10% คือ
ราคาทุน   100 บาท          ขายไป  100+10 = 110 บาท
ให้  ราคาทุน   4,000 บาท          ขายไป          A     บาท
 
 
จะได้    สัดส่วน
(คูณไขว้)
A x 100   =
4,000 x 110
A     =
A     =
4,400 บาท

ดังนั้น  จะต้องขายในราคา 4,400 บาท จึงจะได้กำไร 10%    Ans.

โพสท์ใน Uncategorized | ใส่ความเห็น

เปอร์เซ็นต์ไทล์ (Percentile)

หากเรานำคะแนนมาคำนวณหาความถี่สะสมและเปอร์เซ็นต์ของความถี่สะสม และนำเปอร์เซ็นต์ของความถี่สะสมมาสร้างกราฟ ก็จะสามารถอ่านค่าเปอร์เซ็นต์ไทล์ได้โดยตรงจากกราฟ โดยดูที่ตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ของความถี่สะสมแล้วลากมาบรรจบเส้นกราฟ จากนั้นลากให้ลงมาตั้งฉากกับเส้นคะแนนจะสามารถอ่านค่าคะแนนได้โดยตรงดูรูปภาพ 10 กราฟแสดงเปอร์เซ็นต์ของความถี่สะสม ในกรณีที่เราต้องการทราบเปอร์เซ็นต์ไทล์ของคนที่ได้คะแนน 65 ในครั้งแรกเราต้องหาตำแหน่ง 65 ในแกนนอนและวาดเส้นตรงมาตั้งฉากกับแกนนอนให้ขึ้นไปสัมผัสกับกราฟ จากจุดสัมผัสนี้เราลากเส้นตรงให้ตั้งฉากกับแกนตั้ง และจะเห็นตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 43 อีกตัวอย่างหนึ่งถ้าเราต้องการทราบคะแนนของผู้ที่อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 90 เราจะต้องหาตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 90 บนแกนตั้งและวาดเส้นให้ตั้งฉากกับแกนตั้งไปสัมผัสกราฟ จากนั้นวาดเส้นจากจุดสัมผัสกับกราฟลงไปตั้งฉากกับแกนนอนและอ่านค่าคะแนน ซึ่งคะแนนของผู้ที่อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 90 คือ 78

รูปภาพ 10 ใช้กราฟเปอร์เซ็นต์ความถี่สะสมในการประมาณค่าเปอร์เซ็นต์ไทล์

การหาตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์จากตารางแจกแจงความถี่

เราสามารถหาตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ได้โดยปราศจากกราฟเปอร์เซ็นต์ความถี่สะสม ใช้ตารางการแจกแจงความถี่ ในตารางสามารถจะคำนวณหาตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ของผู้ได้คะแนน 65 โดยมีสูตรดังนี้

ตาราง 11 แสดงการแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบปลายภาค

 

ในอันดับแรกจะต้องทราบว่าคะแนน 65 อยู่ในชั้น 62.5 – 65.5 ความถี่สะสมของชั้นที่มีคะแนนต่ำกว่า คือ 28 ขีดจำกัดล่างแท้จริงคือ 62.5 ความแตกต่างของคะแนนกับขีดจำกัดล่างแท้จริงคือ 2.5 (65 – 62.5 = 2.5) ความกว้างอันตรภาคชั้นเป็น 3 จะได้ 2.5/3 จากนั้นคูณด้วยความถี่ของชั้นที่มีตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์อยู่ จะได้ (2.5/3) X 28 จะได้เท่ากับ 23.33 แล้วบวกด้วยความถี่สะสมของชั้นที่ต่ำกว่าจะได้ 51.33 เขียนได้ดังสูตร

 

จะเห็นได้ว่าคำตอบที่คำนวณได้จะมีค่าใกล้เคียงกับกราฟเปอร์เซ็นต์ไทล์ของความถี่สะสมมาก

การหาคะแนนเมื่อให้ค่าเปอร์เซ็นต์ไทล์

ตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 90 ตรงกับคะแนนเท่าใด จากคำถามก่อนอื่นเราจะต้องหาความถี่สะสมที่ตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 90 โดยคูณตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ด้วย N และหารด้วย 100 ดังสูตร

 

เราสนใจคะแนนที่อยู่ที่ตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 90 และมี N เป็น 120 ความถี่สะสมของคะแนนในตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 90 คือ

 

พิจารณาจากตาราง เราจะเห็นความถี่สะสมที่ 108 อยู่ในชั้น 77.5 – 80.5 จะเห็นว่าเป็นความถี่ที่ 1 ในชั้น เพราะความถี่สะสมของชั้นที่ต่ำกว่าคือ 107 ภายในชั้นนี้มีความถี่ 10 ความถี่ที่ 108 คือ 1/10 ของคะแนนในชั้นนี้ แต่ความกว้างอันตรภาคชั้นคือ 3 คูณ 1/10 ด้วย 3 เป็น 0.3 บวกขีดจำกัดล่างของชั้นด้วย 0.3 จะได้ 77.8 ซึ่งก็คือคะแนนในตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทลที่ 90หรือจะใช้สูตรในการคำนวณ ดังนี้

 

สมมติว่าเราต้องการหาคะแนนที่ตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 42.78 ครั้งแรกจะต้องใช้สูตรคำนวณหาความถี่สะสมก่อน ดังนี้

 

คะแนนขีดจำกัดล่างของชั้นที่ความถี่สะสม 51.34 คือ 62.5 มีความกว้างอันตรภาคชั้นเป็น 3 ความถี่สะสมของชั้นที่ต่ำกว่าชั้นที่คะแนนนั้นอยู่คือ 28 และความถี่ของชั้นนั้นคือ 28 นำมาคำนวณด้วยสูตรข้างต้นได้ดังนี้

โพสท์ใน Uncategorized | ใส่ความเห็น

จำนวนจริง ( Real Number )

จำนวนจริงชนิดต่าง ๆ จำนวนนับ เป็นจำนวนชนิดแรกที่มนุษย์คิดขึ้นเพื่อใช้นับจำนวนสัตว์เลี้ยง เซตของจำนวนนับเขียนได้ดังนี้ N = { 1 , 2 , 3 , 4 , … } จำนวนเต็ม เมื่อสังคมของมนุษย์เจริญมากขึ้น จนวนนับก็ไม่เพียงพอแก่การนำไปใช้ จึงได้มรการคิดจำนวนชนิดใหม่ขึ้นโดยการนำจำนวนนับ 2 จำนวนมาลบกัน ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่า “จำนวนเต็ม” ซึ่งแบ่งเป็น 3 อย่างคือ 1) จำนวนเต็มบวก เกิดจากการลบที่ตัวตั้งมีค่ามากกว่าตัวลบ เซตของจำนวนเต็มบวกแทนด้วย I+ = { 1 , 2 , 3 , … } 2) จำนวนเต็มศูนย์ เกิดจากการลบที่ตัวตั้งเท่ากับตัวลบ เซตของจำนวนเต็มศูนย์ = { 0 } มีสมาชิกตัวเดียว 3) จำนวนเต็มลบเกิดจากการลบที่ตัวตั้งมีค่าน้อยกว่าตัวลบ เซตของจำนวนเต็มลบแทนด้วย I- = { -1 , -2 , -3 , … } Note .::. จำนวนเต็ม = I = { … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … } 3. จำนวนตรรกยะ เกิดจากการนำจำนวนเต็ม 2 จำนวนมาหารกัน โดยที่ตัวหารไม่เท่ากับ 0 อาจกล่าวได้ว่าจำนวนตรรกยะคือ จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนได้ เซตของจำนวนตรรกยะเขียนได้ดังนี้ Q = { | เป็นจำนวนเต็ม และ } Note .::. 1) จำนวนตรรกยะมีทั้งที่เป็นบวก เป็นศูนย์ และเป็นลบ 2) จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นเป็นจำนวนตรรกยะด้วย เพราะเขียนในรูปเศษส่วนได้ เช่น 3) จำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบ กับจำนวนที่เป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำทุกจำนวนเป็นจำนวนตรกกยะ เพราะแปลงเป็นเศษส่วนได้ เช่น 4. จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนไม่ได้ ซึ่งได้แก่จำนวนที่ติดรากแต่ถอดรากไม่ได้ กับจำนวนที่เป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ เช่น 5. จำนวนจริง คือ เซตของจำนวนที่เกิดจากการนำเซตของจำนวนตรรกยะยูเนียนกับเซตของจำนวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วยเซต การบวกในระบบจำนวนจริง สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวก สมบัติปิดของการบวก ถ้า และ เป็นจำนวนจริง แล้ว เป็นจำนวนจริง เช่น และ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น เป็นจำนวนจริง และ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น เป็นจำนวนจริง สมบัติการสลับที่ของการบวก ถ้า และ เป็นจำนวนจริง แล้ว เช่น และ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น และ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก ถ้า , และ เป็นจำนวนจริง แล้ว เช่น เป็นจำนวนจริง ดังนั้น และ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น เอกลักษณ์ของการบวก ในระบบจำนวนจริงมี เป็นเอกลักษณ์การบวก สำหรับจำนวนจริง ใด ๆ นั่นคือ เช่น เป็นจำนวนจริง ดังนั้น อินเวอร์สการบวก ในระบบจำนวนจริง ถ้า เป็นจำนวนจริง จะมีจำนวนจริง ซึ่ง เช่น เป็นจำนวนจริง ใด ๆ ดังนั้น การลบและการหารในระบบจำนวนจริง บทนิยาม : เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง ใด ๆ จากบทนิยาม คือ ผลบวกของ กับ อินเวอร์สการบวกของ เช่น บทนิยาม : เมื่อ และ เป็นจำนวนจริง ใด ๆ โดยที่ จากบทนิยาม คือ ผลคูณของ กับ อินเวอร์สการคูณของ เช่น การแก้สมการตัวแปรเดียว การแก้สมการ คือ การหาค่าของตัวแปรที่ทำให้สมการเป็นจริง สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว หมายถึง สมการพหุนามอย่างง่ายที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และมีดีกรีเท่ากับ เช่น 1) 2) 3) 4) จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่าสมการดังกล่าวมีลักษณะเหมือนกัน คือ ตัวแปร มีดีกรี ( เลขชี้กำลัง ) เท่ากับ และสัมประสิทธิ์ของตัวแปร ไม่เท่ากับ สมการมีลักษณะเช่นนี้เรียกว่า สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว รูปทั่วไปของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ โดยที่ เป็นค่าคงตัว และ เป็นสัมประสิทธิ์ของตัวแปร การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะมีคำตอบของสมการเพียงคำตอบเดียวเท่านั้น การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว สมการกำลังสอง ( Quadratic Equation ) คือ สมการพหุนาม ซึ่งมีตัวแปรในพจน์ใดพจน์หนึ่งที่ยกกำลังสอง เช่น 1) 2) 3) 4) รูปทั่วไปของสมการกำลังสอง คือ โดยที่ และ เป็นค่าคงตัว และ โดยมี เป็นตัวแปร ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของสมการ วิธีคิด หมายเหตุ ต้องการผลคูณเป็น ผลบวกเป็น ดังนั้น แยกตัวประกอบได้คือ ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของสมการ วิธีคิด หมายเหตุ ต้องการผลคูณเป็น ผลบวกเป็น ดังนั้น แยกตัวประกอบได้คือ ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ วิธีคิด ดังนั้น หรือ หรือ ดังนั้นคำตอบของสมการ คือ หรือ ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ วิธีคิด ดังนั้น หรือ หรือ ดังนั้นคำตอบของสมการ คือ หรือ

โพสท์ใน Uncategorized | ใส่ความเห็น

การแก้อสมการกำลังสอง

หัวข้อที่แล้วเรากล่าวถึงสมการยกกำลังหนึ่ง ซึ่งสามารถแก้ปัญหาได้โดยง่าย เพราะจะยังไม่มีความซับซ้อนมาก เท่าไหร่นัก ซึ่งจากแบบฝึกหัดที่พวกเราได้ทำกันไปแล้วนั้น จะช่วยให้เราสามารถเข้าใจรับรู้ถึงเทคนิคหรือวิธีบางอย่างในการคำนวณ ได้ดี มากขึ้น สำหรับในหัวข้อนี้ เป็นอีกหนึ่งวิธีสำหรับการแก้อสมการ แต่จะเพิ่มระดับความยุ่งยากขึ้นมามากกว่าเล็กน้อย นั่นคือ การแก้โจทย์ปัญหาอสมการกำลังสอง โดยที่การแก้อสมการประเภทนี้นั้น เราสามารถทำได้หลายวิธีด้วยกัน เช่น การแยกตัวประกอบหรือการแก้โจทย์โดยที่ใช้วิธีกำลังสองสมบูรณ์ การแก้อสมการกำลังสองนั้น มีนิยามที่แสดงได้อย่างง่ายๆคือ อสมการกำลังสองใน r หมายถึง อสมการที่อยู่ในรูปของ โดยกำหนดให้ เป็นตัวแปร และ เป็นค่าคงที่ ที่ ซึ่งอย่างที่บอกไปแล้วนั้นว่า วิธีการแก้อสมการกำลังสองนั้นมีวิธีได ้หลายวิธี เรามาดูวิธีการแก้ปัญหาของแต่ละประเภทกันดีกว่านะคะ 1. การแก้สมการสมการกำลังสองโดยการแยกตัวประกอบ และสิ่งที่จะเอ่ยดังต่อไปนี้ จะเป็นวิธีการแก้ปัญหาเกี่ยวกับ อสมการอย่างง่ายๆโดยที่เราจะสรุปเป็นข้อๆ เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจมากขึ้นนะคะ โดยขั้นตอนในการแก้ปัญหานั้นมีขั้นตอนดังนี้ การแก้อสมการกำลัง 2 อ้างโดยนิยามที่กล่าวไปดังก่อนหน้านี้ เราสามารถที่จะแสดงวิธีในการแก้อสมการได้ดังนี้ 1. จัดอสมการเปรียบเทียบกับ 0 2. แยกตัวประกอบ 3. พิจารณาเครื่องหมาย 4. หาคำตอบจากสมการกำลัง 1 จากทั้ง 2 กรณีแล้วนำมายูเนี่ยนกัน ซึ่งพวกเราสามารถที่จะนำขั้นตอนดังกล่าวมาใช้ได้โดยที่จะ สามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วและถูกต้อง เช่นตัวอย่างดังต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ วิธีทำ : จัดสมการเปรียบเทียบกับ 0 : แยกตัวประกอบ ซึ่งเราจะต้องแบ่งเครื่องหมายในการพิจารณา โดยมีกรณีดังนี้ 1. (+)(+) หรือ 2. (-)(-) หรือ อีกกรณีหนึ่งที่มีเครื่องหมายต่างกัน เราสามารถที่จะแบ่งได้เป็น สองกรณีเช่นกัน แล้วสุดท้ายจะนำคำตอบที่ได้มายูเนี่ยนกัน 1. และ และ 2. และ และ เมื่อเรานำค่าที่แยกตัวประกอบนำมาแบ่งเป็นสองกรณีแล้วนั้น ให้นำคำตอบจากสมการกำลัง 1จากทั้งสองกรณีแล้วนำมายูเนี่ยน กันเพื่อหาคำตอบสุดท้ายออกมาได้ดังนี้ ดังนั้น คำตอบสุดท้ายที่ได้ออกมาก็คือ วิธีการดังที่กล่าวมาคือสำหรับอสมการกำลังสอง โดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบเป็นหลัก หากจะทำ อย่างไร หากว่าไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ 2.การแก้อสมการกำลังสองโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในสำหรับกรณีที่แก้อสมการกำลังสอง โดยที่ไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ หรือ อาจสามารถทำได้แต่ยากและใช้เวลานาน การแก้อสมการกำลังสองนี้อาจใช้วิธีการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ ซึ่งมีขั้นตอนง่ายๆดังนี้คะ ขั้นตอนที่ 1 ทำให้อสมการกำลังสองใน มีสัมประสิทธิ์ ของพจน์ เท่ากับ 1 ขั้นตอนที่ 2 ทำให้อยู่ในรูปของ ขั้นตอนที่ 3 แทนค่าให้อยู่ในรูปของ สามารถทำตามขั้นตอนที่กำหนดให้ดังข้างต้น เรียงลงมาได้เลยโดยที่เซตคำตอบของอสมการนั้นจะอยู่ที่ขั้นตอนที่ 3 ตัวอย่างที่ 1 จงแก้อสมการ วิธีทำ นำ คูณอสมการที่กำหนดให้ ดังนั้น เพราะฉะนั้น เซตคำตอบของอสมการที่ได้จะเท่ากับ ในกรณีที่สัมประสิทธิ์ด้านหน้าของ ไม่เท่ากับ 1 ให้ทำให้เป็น 1 เสียก่อน

โพสท์ใน Uncategorized | ใส่ความเห็น

การแก้สมการ

การแก้สมการ คือ การหาคำตอบของสมการ หรือการหาค่าของตัวแปรซึ่งทำให้สมการนั้นเป็นจริง
คำสั่งที่ใช้ในการแก้สมการ นิยมใช้คำสั่งดังนี้
จงแก้สมการ 5x + 2 = 17
จงหาคำตอบของสมการ 5x + 2 = 17
จงหาค่าของ x ที่ทำให้สมการ 5x + 2 = 17 เป็นจริง
จากสมการ 5x + 2 = 17 จงหาค่าของตัวแปร

การแก้สมการทำได้ 2 วิธีดังนี้
การแทนค่าตัวแปร
การใช้คุณสมบัติของการเท่ากัน

การแทนค่าตัวแปร

โดยการทดลองแทนค่าของตัวแปรในสมการ ถ้านำจำนวนใดมาแทนค่าของตัวแปรในสมการนั้น แล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง แสดงว่าจำนวนนั้นเป็นคำตอบของสมการ และถ้านำจำนวนใดมาแทนค่าของตัวแปรในสมการนั้น แล้วทำให้สมการเป็นเท็จ แสดงว่าจำนวนนั้นไม่เป็นคำตอบของสมการ ดังตัวอย่าง

สมการ y + 6 = 21 แทน y ด้วย 15
จะได้ 15 + 6 = 21 สมการเป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ 15

สมการ 5x + 2 = 17 แทน x ด้วย 3
จะได้ ( 5 x 3 ) + 2 = 17
15 + 2 = 17 สมการเป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ 3
การใช้คุณสมบัติของการเท่ากันการใช้คุณสมบัติของการเท่ากัน

โดยการนำคุณสมบัติการเท่ากันในเรื่อง การบวก การลบ การคูณ การหาร มาใช้ในการแก้สมการ (นักเรียนคลิกไปดูคุณสมบัติได้นะครับ) ดูวิธีการในตัวอย่างต่อไปนี้

จงแก้สมการ x – 12 = 18
วิธีทำ x – 12 = 18
นำ 12 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
x – 12 + 12 = 18 + 12 (คุณสมบัติการบวก)
x = 30
ตรวจสอบคำตอบ โดยการแทนค่า x ด้วย 30
ในสมการ x – 12 = 18
จะได้ 30 – 12 = 18 สมการเป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ 30

จงแก้สมการ 7x + 8 = 36
วิธีทำ 7x + 8 = 36
นำ 8 มาลบทั้งสองข้างของสมการ
7x + 8 – 8 = 36 – 8 (คุณสมบัติการลบ)
7x = 28
นำ 7 มาหารทั้งสองข้างของสมการ
(คุณสมบัติการหาร)
x = 4
ตรวจสอบคำตอบ โดยการแทนค่า x ด้วย 4
ในสมการ 7x + 8 = 36
จะได้ (7 x 4) + 8 = 36
28 + 8 = 36 สมการเป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ 4

โพสท์ใน Uncategorized | ใส่ความเห็น

การกระจัด

การกระจัด หรือ การขจัด ในทางฟิสิกส์ หมายถึงระยะห่างของการเคลื่อนที่จากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสุดท้ายโดยจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง ซึ่งจะเป็นระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดใด ๆ ในขณะที่เราเคลื่อนที่ เราจะเปลี่ยนตำแหน่งที่อยู่ตลอดแนว เช่น ขณะเราขับรถยนต์ไปตามท้องถนน เราจะเคลื่อนที่ผ่านถนน ถนนอาจเป็นทางตรง ทางโค้ง หรือหักเป็นมุมฉาก ระยะทางที่รถเคลื่อนที่อาจเป็นระยะทางตามตัวเลขที่ราบของการเคลื่อนที่ แต่หากบางครั้งเราจะพบว่า จุดปลายทางที่เราเดินทางห่างจากจุดต้นทางในแนวเส้นตรง หรือในแนวสายตาไม่มากนัก

ระยะทาง (distance) คือ ความยาวตามเส้นทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้ทั้งหมด เป็นปริมาณสเกลาร์ คือ มีแต่ขนาดอย่างเดียว มีหน่วยเป็นเมตร โดยทั่วไปเราใช้สัญลักษณ์ S

การกระจัด (displacement) คือ เส้นตรงที่เชื่อมโยงระหว่างจุดเริ่มต้น และจุดสุดท้ายของการเคลื่อนที่เป็นปริมาณเวกเตอร์ คือ ต้องคำนึงถึงทิศทางด้วย มีหน่วยเป็นเมตร โดยทั่วไปเขียนแบบเว็กเตอร์เป็น S

โพสท์ใน Uncategorized | ใส่ความเห็น

การวัดการกระจายของข้อมูล (Measure of Dispersion)

การวัดการกระจายของข้อมูล (Measure of Dispersion) การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation) 6.1.1 พิสัย (Range : R) 6.1.2 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation หรือ Average Deviation : M.D.) 6.1.3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : S.D.,S,s) ——————————————————————————– 6.1.1 พิสัย (Range : R) พิสัย หมายถึง การหาการกระจายของข้อมูลโดยนำข้อมูลที่มีค่าสูงที่สุด ลบกับข้อมูลที่มีค่าต่ำที่สุด เพื่อให้ได้ค่าที่เป็นช่วงของการกระจาย ซึ่งสามารถบอกถึงความกว้างของข้อมูลชุดนั้นๆ สำหรับสูตรที่ใช้ในการหาพิสัยคือ พิสัย (R) = Xmax – Xmin ตัวอย่าง 1.10 จงหาพิสัยจากข้อมูลชุดนี้ 25,19,32,29,19,21,22,31,19,20,15,22,23,20 วิธีทำ สูตร พิสัย (R) = Xmax – Xmin = 32 – 15 = 17 ข้อมูลชุดนี้มีพิสัย(R) เท่ากับ 17 6.1.2 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation หรือ Average Deviation : M.D.) การหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย(M.D.) ในกรณีข้อมูลไม่ได้แจกแจงความถี่ สูตร ตัวอย่าง 1.11 จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย(M.D.)จากข้อมูลชุดนี้ 25,19,32,29,19,21,22,31 วิธีทำ 1) หาค่าเฉลี่ยของข้อมูล = 24.75 2) หาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย(M.D.) = 45 ค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย(M.D.) ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ 4.5 6.1.3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : S.D.,S,s) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นค่าวัดการกระจายที่สำคัญทางสถิติ เพราะเป็นค่าที่ใช้บอกถึงการกระจายของข้อมูลได้ดีกว่าค่าพิสัย และค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(S.D.) ในกรณีข้อมูลไม่ได้มีการแจกแจงความถี่ สูตร หรือ ตัวอย่าง 1.12 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้ 5,7,9,5,10,8,12 วิธีทำ 1) หาค่าเฉลี่ยของข้อมูล = 8 2) หาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน S.D. = 2.5820 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(S.D.)ของข้อมูลชุดนี้ มีค่าเท่ากับ 2.5820 หมายเหตุ เมื่อนำค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมายกกำลังสอง จะเรียกว่าค่าความแปรปรวน ค่าความแปรปรวน(Variance : ,)

โพสท์ใน Uncategorized | ใส่ความเห็น